Характеристическое уравнение.

Если имеется однородное линейное дифференциальное уравнение c неизменными коэффициентами

р0у(n) + p1y(n-1) + … + pny = 0, то алгебраическое уравнение

p0λn + p1λn-1 + … + pn = 0 именуется его характеристическим уравнением.

22# Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с неизменными коэффициентами — это уравнения вида

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с неизменными коэффициентами можно записать Характеристическое уравнение. как сумму

где yo- это общее решение линейного однородного уравнения с неизменными коэффициентами

Y- личное решение ЛНДУ.

В неких особых случаях личное решение ЛНДУ может быть найдено способом неопределенных коэффициентов, в общем случае употребляют способ варианты случайных неизменных. В данном пт мы разглядим неоднородные дифференциальные уравнения с правой Характеристическое уравнение. частью специального вида и применим способ неопределенных коэффициентов, а способ варианты случайных неизменных будет изложен позднее.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка ищем зависимо от вида правой части, другими словами от функции f(x).

где — многочлен степени n.

Ia. Если a не является корнем характеристического уравнения, другими словами то личное Характеристическое уравнение. решение ЛНДУ ищем в виде

где — многочлен степени n с неизменными коэффициентами.

Iб. Если a — один из корней характеристического уравнения, то если правильно только одно из равенств то личное решение ЛНДУ ищем в виде

Iв. Если a — кратный корень характеристического уравнения, другими словами (к примеру, при дискриминанте, равном 0), то личное решение Характеристическое уравнение. неоднородного дифференциального уравнения второго порядка в данном случае есть

IIa. Если a+bi не является корнем характеристического уравнения, другими словами то личное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем как

Где многочлены степени N, N — нездоровая из степеней n и m.

IIб. Если a+bi является корнем характеристического уравнения, другими словами то для этого Характеристическое уравнение. варианта личное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с неизменными коэффициентами ищем в виде

Способ неопределённых коэффициентов ― способ, применяемый в арифметике для нахождения разыскиваемой функции в виде четкой либо приближённой линейной композиции конечного либо нескончаемого набора базисных функций. Обозначенная линейная композиция берётся с неведомыми коэффициентами, которые определяются тем либо другим методом Характеристическое уравнение. из критерий рассматриваемой задачки. Обычно для их выходит система алгебраических уравнений.

Применение способа неопределённых коэффициентов основано на последующих 2-ух аксиомах.

Аксиома №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).

Если при случайных значениях аргумента x значение многочлена f(x) = а0+ а1х + а2х2 +...+ а nxn, данного в стандартном виде, равно нулю Характеристическое уравнение., то все его коэффициенты а0, а1, а2, ..., аn равны нулю.

Аксиома №2 (следствие аксиомы № 1).

Пусть и f(x) = а0+а1х +...+ а nxn, и g (x)= b 0+ b 1х + b 2х2 +...+ bnxn.
Для того чтоб f(x)= g(x)нужно и довольно, что бы а0= b0, а1 = b1, а Характеристическое уравнение.2 = b 2 , ..., а n= bn
Разглядим примеры, иллюстрирующие внедрение способа неопределенных коэффициентов.

23#Пусть задана нескончаемая числовая последовательность u1, u2,…,un,…. Выражение (1) именуется числовым рядом. Числа u1, u2,…,un,… именуются первым, вторым, …, n-м, … членами ряда. un также именуется общим членом ряда. Сумма конечного числа n первых членов ряда именуется n-ой частичной суммой ряда Характеристическое уравнение.: Если существует конечный предел то он именуется суммой ряда (1), а ряд (1) именуется сходящимся. Если не существует либо равен бесконечности, то ряд (1) именуется расходящимсяи суммы не имеет.

24# Нужный признак сходимости.

Если ряд сходится, то un=0.

Подтверждение. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, другими словами существует конечный предел =S Характеристическое уравнение.. Тогда имеет место также равенство =S, потому что при n и (n-1) . Вычитая почленно ( ха-ха, член) из первого равенства 2-ое, получаем - = = un=0, что и требовалось обосновать.

Следствие. Если un≠0, то ряд u1+u2+…+un… расползается.

Признак сопоставления

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда

(7)

(8)

причём un≤vn при всех n=1,2,… .

Тогда: 1. Если ряд (8) сходится Характеристическое уравнение., то сходится и ряд (7);

2. Если ряд (7) расползается, то расползается и ряд (8).

Подтверждение. Обозначим n-е частичные суммы рядов (7) и (8) через Sn и sn соответственно. Пусть ряд (8) сходится. Это означает, что существует конечный =s. По условию аксиомы 0< un≤vn, потому Sn

Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

(7)

и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расползается.

Подтверждение. По условию существует предел . Это значит, что для хоть какого положительного Характеристическое уравнение. числа Е существует таковой номер N, что для всех номеров n³N производится условие либо

p-E< (10)

Пусть поначалу p<1. Выберем Е так, что p+E=q<1. Для всех n³N имеем … либо

либо

(11)

Разглядим ряды

(12)

. (13)

Ряд (13) сходится, потому что он является нескончаемо убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, беря во внимание (11), по признаку сопоставления Характеристическое уравнение.. Ряд (7) сходится по аксиоме 1.

Пусть сейчас p>1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n³N производится либо un+1>un, другими словами члены ряда растут с возрастанием номера n. Потому un¹0, как следует, ряд расползается по следствию из нужного признака Характеристическое уравнение. сходимости. Аксиома подтверждена.

25#Конкретный признак Коши

Пусть дан знакоположительный числовой ряд u1+u2+…+un… (7)

и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расползается.

Подтверждение. По условию существует Это значит, что для хоть какого положительного числа Е существует таковой номер N, что для всех n³N производится условие | |

Пусть p<1. Выберем Е таким, чтоб производилось p+E=q<1. Тогда из (14) получаем

(15)

(16)

Ряд (16) сходится, потому что он является нескончаемо убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, беря во внимание, что un

Пусть сейчас p>1. Выберем Е так, чтоб производилось условие p-E >1. Тогда из (14) получаем >1 либо un>1, как следует, un¹0 и ряд (7) расползается по следствию из нужного признака сходимости. Аксиома подтверждена.

26#Интегральный признак Коши

Пусть члены знакоположительного числового ряда u1+u2+…+un… (7) не растут: u1³u2≥…≥un≥… и Характеристическое уравнение. пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u1, f(2)= u2 ,…, f(n)= =un,… . Тогда ряд (7) сходится либо расползается сразу с несобственным интегралом

Подтверждение. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u Характеристическое уравнение.1,u2,…,un-1, также с высотами u2,u3,…,un.

Sn=u1+u2+…+un-1+un, Sвпис=u2.1+u3.1+…+un.1=u2+u3+…+un=Sn-u1,

Sопис=u1+u2+…+ +un-1=Sn-un.

Площадь криволинейной трапеции S= . Получаем
Sn-u1< < Sn-un. Отсюда

Sn

и Sn>un+ (18)

Пусть сходится. Это значит, что существует конечный Характеристическое уравнение. предел =Y. Соотношение (17) воспринимает вид: Sn

27# Числовые ряды Характеристическое уравнение., содержащие как положительные, так и отрицательные члены, именуются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сопоставлению со знакоположительными рядами, потому что они получаются умножением знакоположительных рядов на –1.

Исследование знакопеременных рядов начнём с личного варианта – знакочередующихся рядов.

Числовой ряд вида u1-u2+u3-u4+…+ +(-1)n-1.un Характеристическое уравнение.+…, где un – модуль члена ряда, именуется знакочередующимся числовым рядом.

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Производятся два условия:

Члены ряда убывают по модулю u1>u2>…>un>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Подтверждение. Разглядим частичную сумму чётного числа членов ряда S2n=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u Характеристическое уравнение.2n-1-u2n).

По условию u1>u2>…>u2n-1>u2n, другими словами все разности в скобках положительны, как следует, S2n увеличивается с возрастанием n и S2n>0 при любом n.

С другой стороны S2n=u1-[(u2-u3)+(u4-u5)+…+(u2n-2-u2n-1)+u2n]. Выражение Характеристическое уравнение. в квадратных скобках положительно и S2n>0, потому S2n

Разглядим сейчас частичную сумму нечётного числа членов ряда S2n Характеристическое уравнение.+1=S2n+u2n+1. Перейдём в последнем равенстве к лимиту при n→∞: S2n+1= S2n+ u2n+1=S+0=S. Таким макаром, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, потому Sn=S, другими словами данный ряд сходится. Аксиома подтверждена.

Если знакопеременный Характеристическое уравнение. ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расползается, то молвят, что знакопеременный ряд сходится условно.

Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то молвят, что знакопеременный ряд сходится полностью.

28#Ряд, члены которого являются функциями, именуется многофункциональным рядом. Его обозначают Характеристическое уравнение.: u1(x)+u2(x)+…+un(x)+… .

Если при x=x0 многофункциональный ряд сходится, то x0 именуется точкой сходимости многофункционального ряда.

Огромное количество всех точек сходимости многофункционального ряда именуется его областью сходимости. Разумеется, что в области сходимости многофункционального ряда его сумма является функцией от x.

Степенным рядом именуется многофункциональный ряд вида

, (24)

где a Характеристическое уравнение., a0, a1, a2, …, an, … – некие числа, именуемые коэффициентами степенного ряда.

Интервал сходимости - интервал, в каждой точке которого степенной ряд с действительными членами сходится, при этом полностью. На каждом из концов этого интервала ряд может как сходиться (полностью либо условно), так и расходиться. Вне этого интервала ряд расползается.

29# Всякая функция при соблюдении Характеристическое уравнение. определенных критерий в интервале, содержащим точку М0, может быть представлена в нем в виде степенного ряда, и этот ряд будет ее рядом Тейлора.

Рядом Тейлора функции f (х) именуется степенной ряд вида

Рядом Маклоренафункции f (х) именуется ряд

Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням (x - x0) и Характеристическое уравнение. x соответственно, либо представление функции в округи точек x0 либо x степенным рядом. Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена рассчитываются через значения производных функции всех порядков в точках x = x0 и x = 0 соответственно.


h-para-bluzhdayushij-nerv-nervus-vagus.html
h-posledovatelnoe-uglublenie.html
h-problemnie-situacii-i-argumentaciya-v-nauchnoj-rechi.html